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Revista Científica-Literaria

Avatar 10 – Una Ofrenda Musical

En el año 1747, el rey de Prusia Féderico el Grande tuvo la oportunidad de conocer en persona a J. S. Bach y en la ocasión le sugirió componer una fuga a seis voces obligadas (tarea más que extraordinaria para cualquier músico avezado) en base a una melodía que el mismo rey propuso. Ya concluida la obra, Bach la envió al rey con la dedicatoria respectiva. “El ejemplar enviado por Bach al rey Federico lleva en la página que precede a la primera de música, la inscripción siguiente:

(‘Por orden del rey, la canción y las demás cosas [están] resueltas con arte canónica’.) Bach juega aquí con  los dos sentidos del adjetivo canónico: no sólo ‘mediante la forma canon’, sino también ‘de la mejor manera posible’. Las iniciales de la inscripción latina forman la palabra italiana que significa ‘buscar’, ‘indagar’. Y la Ofrenda Musical contiene ciertamente muchas cosas que piden indagación y búsqueda. Consta de una fuga a tres voces, una fuga a seis voces, diez cánones y una sonata-trío. Los especialistas han llegado a la conclusión de que la fuga a tres voces es seguramente, en lo esencial, la que Bach improvisó ante el rey Federico. La fuga a seis voces es una de las creaciones más complicadas de Bach, y su tema es, por supuesto, el que dio Federico. El Tema Regio, es muy complejo, rítmicamente irregular y sumamente cromático (o sea, con muchas notas que no pertenecen a la tonalidad en que está escrito). Componer con ese tema una fuga decente, aunque sólo fuera a dos voces, no hubiera sido tarea sencilla para un músico promedio.

El nombre que da Bach a las dos fugas no es ‘Fuga’, sino ‘Ricercar’. Este es otro de los sentidos de la palabra: ricercar, en efecto, fue el nombre original de la forma que hoy se conoce como ‘fuga’. En tiempos de Bach ya se había impuesto la palabra (latina e italiana) fuga, pero seguía utilizándose ricercar para designar un tipo erudito de fuga, tal vez demasiado austeramente intelectual para el oyente medio. […]

Los diez canones de la Ofrenda Musical se cuentan entre los más elaborados que Bach compuso. Pero, curiosamente, Bach mismo no dejo ninguno de ellos escrito de cabo a rabo. Su presentación incompleta es cosa deliberada. Son como acertijos que se le proponen al rey de Prusia. Un juego musical muy practicado en la época consistía en escribir un tema, acompañarlo de algunas indicaciones más o menos enigmáticas y dejar que el canon basado en este tema fuera ‘descubierto’ por otro jugador. […]

El canon se caracteriza esencialmente por un tema que sirve a la vez de melodía y de acompañamiento. Para conseguir esto se distribuyen ‘copias’ del tema entre las distintas voces ejecutantes. Pero hay varios procedimientos. El más simple y directo es el que se sigue en ciertas canciones de ronda, […] Entra el tema en la primera voz; después de un lapso bien medido entra una de sus ‘copias’ exactamente en la misma tonalidad; pasado el mismo lapso en la segunda voz, entra la tercera de las copias del tema, y así sucesivamente. No cualquier melodía puede armonizar consigo misma en esa forma. Para que una sucesión de notas funcione como tema de canon se requiere que cada una de esas notas cumpla un papel doble (o triple, o cuádruple, etc.): en primer lugar tiene que ser parte de una melodía y en segundo lugar tiene que ser parte de una armonización de esa misma melodía. Cuando hay, por ejemplo, tres voces canónicas, cada nota del tema necesita funcionar de dos maneras armónicas distintas, además de conservar su función melódica. En otras palabras, cada una de las notas del canon posee más de un sentido musical: el oído y el cerebro del oyente dan automáticamente con el sentido adecuado, teniendo en cuenta el contexto.

Existen, claro, especies más complicadas de cánones. Un primer grado en la escala de complejidad se consigue cuando las ‘copias’ del tema se escalonan no sólo en el tiempo, sino también en el tono; por ejemplo, la primera voz puede comenzar el tema en do, y entonces la segunda, al entroncar con la primera después del lapso de rigor, canta ese mismo tema pero comenzando cinco notas arriba, o sea en sol; si hay una tercera voz, ésta deberá entroncar con las otras dos, a su debido tiempo, comenzando cinco notas arriba de donde comenzó la segunda, o sea en re, y así sucesivamente. Un segundo grado en la escala de complejidad se da cuando la velocidad varía de una voz a otra; cuando, por ejemplo, la segunda voz canta el doble de rápido o el doble de lento que la voz inicial. Lo primero se llama disminución, lo segundo aumentación (porque el tema parece encogerse o dilatarse respectivamente).

Y eso no es todo. La siguiente etapa de complejidad en la construcción de cánones consiste en invertir el tema, lo cual significa elaborar una melodía que salte hacia abajo cada vez que el tema original salta hacia arriba, pero haciendo que el salto mida exactamente el mismo número de semitonos. El efecto producido por esta transformación melódica es un tanto raro, pero cuando uno se acostumbra a oír temas invertidos, ya comienza a encontrarlos completamente naturales. Bach, que era aficionadísimo a las inversiones, las prodiga en su obra –sin exceptuar, por supuesto, la Ofrenda Musical. […] Finalmente, la más esotérica de las ‘copias’ es la copia retrógrada, en la cual el tema se ejecuta al revés de cómo está escrito, es decir, de atrás para adelante. El canon que utiliza este truco se llama familiarmente canon cangrejo, a causa de las peculiaridades locomotivas de esos crustáceos. Ni falta hace decir que Bach introdujo un canon cangrejo en su Ofrenda Musical.

Hay que observar que los distintos tipos de ‘copia’ conservan toda la información que hay en el original, lo cual quiere decir que el tema es totalmente recuperable a partir de cualquiera de sus copias. Esta transformación mantenedora de la información suele llamarse isomorfismo, […]”

Inspirado por el canon cangrejo de Ofrenda Musical, M. C. Escher realizó el dibujo de abajo.

30/05/2011 Posted by | Música | | 1 Comment

Avatar 10 – Escalas musicales

Hace algunos días un estudiante de música me pidió le ayudase a calcular las frecuencias de una escala con afinación pitagórica. En ese plan de entender el origen de esta escala extendí mi investigación a otras escalas musicales.

La música como materia artística necesita partir de cierto orden, los sonidos que generan melodías no son simples combinaciones aleatorias, sino, por el contrario, siguen reglas matemáticas y físicas muy interesantes y a la vez complejas. Las escalas musicales tratan de dar orden a los sonidos de tal modo de obtener las combinaciones correctas que posteriormente crearán obras maestras. Las escalas musicales son muy diversas; sin embargo, en el mundo occidental se han seguido ciertas tendencias.

La llamada escala pitagórica tiene sus orígenes en los siglos VI-V a.c., la cual se atribuye a Pitágoras y sus colaboradores. Estos diseñaron un aparato de nombre monocordio, el cual básicamente se trata de una tabla con un cuerda tensa, de longitud L, la cual mientras vibra produce un sonido de cierta frecuencia f. La cuerda tensada se modifica en longitud por medio de otra tabla pequeña generando así diferentes sonidos. Los pitagóricos encontraron asombrosamente que los sonidos más armoniosos entre sí estaban relacionados por medio de proporciones matemáticas fácilmente identificables. Encontraron, por ejemplo, que si la proporción de la cuerda era 1:2, es decir reduciendo la longitud de la cuerda a la mitad se obtenía un sonido armonioso cuya frecuencia era el doble de la original. A esta nueva frecuencia o a la proporción se le denominó octava. Otras relaciones importantes fueron la llamada quinta (3:2) y la cuarta (4:3). A partir de estas frecuencias es posible obtener valores de frecuencias intermedias, las cuales mantienen las proporciones principales. Es así que la escala llamada diatónica se compone de las notas do, re, mi, fa, sol, la, si, do. Si tomamos como frecuencia inicial el do, la cuarta sería fa, la quinta sol y la octava es nuevamente do pero al doble de frecuencia (en lenguaje musical se diría una octava más alta). La necesidad de los músicos de producir nuevas melodías obligó a ampliarla utilizando las mismas proporciones pitagóricas, llegando a una escala de 12 notas.

El problema de este tipo de escala pronto fue evidente, al momento de afinar ciertos instrumentos con intervalos fijos, como lo es un piano. El problema surge debido a que si bien existen proporciones definidas entre las notas de la escala pitagórica, la razón entre dos frecuencias contiguas no es constante. Existiendo dos tipos de razones: la mayor es de 9:8, también conocida como un tono y la menor de 256:243 llamada semitono.

Uno de los grandes músicos de nuestro tiempo trató de salvar este problema utilizando una nueva escala, denominada temperada, la cual mantiene los intervalos entre una frecuencia y otra constante, es decir, las frecuencias en esta escala están ordenadas en una serie geométrica cuya razón fija es igual a 2^{\frac{1}{12}}.

Sin embargo, a pesar de haberse resuelto el problema de la afinación, las notas más armoniosas estaban dadas por las proporciones pitagóricas. Un intento interesante por resolver este nuevo problema fue el propuesto por Holder, cuya escala lleva su nombre, aunque los principios básicos ya habían sido enunciados antes por el alemán Mercator. La escala de Holder divide una octava en 53 partes iguales llamadas comas. La escala pitagórica tiene distribuido los tonos (T) y los semitonos (S) de la siguiente manera: T-T-S-T-T-T-S. En la escala de Holder se tiene la siguiente distribución de comas: 9-9-4-9-9-9-4. Aunque esta construcción parece ser totalmente artificial, al parecer abre nuevas oportunidades artísticas para los músicos, los que al final son quienes decidirán qu{e hacer con las escalas. Sin embargo, la impresionante presencia de proporciones y simetría en la construcción de las escalas no deja de ser apasionante.

 

30/05/2011 Posted by | Matemática, Música | , | Leave a comment

Avatar 10 – Das Glasperlenspiel

Es difícil olvidar aquel comentario de Borges al referirse a este hermoso ensayo, ocaso de las creaciones del premio Nobel Hermann Hesse; tampoco puedo evitar buscar la explicación posible para justificar a Hesse su conocimiento del juego, quizá la explicación más sencilla es decir que el propósito del libro es otro y el juego es la excelente excusa para desarrollar temas de gran profundidad filosófica.

El juego de los abalorios se desarrolla en un mundo futuro sumido en la decadencia en el que un grupo de élite decide aislarse y concentrarse en conservar los valores más altos, dedicándose al estudio especialmente de la música, las matemáticas y la filología, quizá siguiendo los consejos del sabio Boecio del siglo VI, que proponía como camino a la sabiduría el quadrivium o cuádruple vía a la sabiduría, a través del estudio de la música, la aritmética, la geometría y la astronomía.

En su libro, Hesse nuevamente explora hábilmente los terrenos juveniles y adolescentes; sin embargo en esta ocasión, da un paso hacia los años venideros, cuando la madurez ha llegado y nuevos anhelos se ciernen. La sabiduría quizá  sea el siguiente nivel. El nuevo renacer. El paso previo a trascender.

“Toda flor se marchita y toda juventud
cede a la edad; florecen los peldaños de la vida,
florece todo saber también, toda verdad
a su tiempo, y no puede perdurar eterna.
Debe el corazón a cada llamamiento
estar pronto al adiós y a comenzar de nuevo,
para darse con todo su valor más firme
alegremente a toda forma nueva.
Y en cada comienzo está un hechizo
que nos protege y nos ayuda a vivir.”

La élite se congrega en una especie de monasterios, en la mítica Castalia, donde viven una existencia estricta y disciplinada, y entre sus actividades está el famoso juego de los abalorios. Lo poco que Hesse nos cuenta sobre este ambicioso juego lo transcribo a continuación:

“Las normas, el alfabeto y la gramática del juego representan una especie de idioma secreto muy desarrollado, en el cual participan varias ciencias y artes, sobre todo las matemáticas y la música (la ciencia musical, respectivamente) y que expresa los contenidos y resultados de casi todas las ciencias y puede colocarlos en correlación mutua. El juego de abalorios es, por lo tanto, un juego con todos los contenidos y valores de nuestra cultura; juega con ellos como tal vez, en las épocas florecientes de las artes, un pintor pudo haber jugado con los colores de su paleta. Lo que la humanidad produjo en conocimientos elevados, conceptos y obras de arte en sus períodos creadores, lo que los períodos siguientes de sabia contemplación agregaron en ideas y convirtieron en patrimonio intelectual, todo este enorme material de valores espirituales es usado por el jugador de abalorios como un órgano es ejecutado por el organista; este órgano es de una perfección apenas imaginable, sus teclas y pedales tocan todo el cosmos espiritual, sus registros son casi infinitos; teóricamente, con este instrumento se podría reproducir en el juego todo el contenido espiritual del mundo.”

Considero que el juego en sí no es lo importante; la idea de una élite amparada en una idea, en un propósito que se alejaba de la realidad para crear una nueva verdad, la búsqueda de ésta sin mezclarse con las vanaglorias de la sociedad, el transcender y el disfrutar del conocimiento, son más importantes.

La obra nos recuerda, que los conocimientos están enlazados de maneras extrañas y cualquiera que decida emprender el camino a la sabiduría no debe jamás despreciar ninguna rama del saber humano; por el contrario nos invita a la unificación del saber. Un libro que seguramente se debe leer varias veces y en diversas etapas de la vida. Ya voy por la segunda y después de releer estas líneas me temo que serán muchas más, en las que el Magister Knecht me acompañará en días solitarios.

30/05/2011 Posted by | Literatura, Música | , , | Leave a comment

Avatar 9 – Dimensión fractal

Una de las más desconcertantes aseveraciones, al hablar sobre fractales, es aquella que menciona que estas figuras geométricas pueden poseer una dimensión fraccionaria. Esta afirmación suele ser muy difícil de aceptar y, sobre todo, asignarle una imagen mental resulta difícil sino imposible. La palabra dimensión, dentro del mundo de las matemáticas, acepta varias definiciones formales, algunas expresadas de formas complejas e inasibles para los no iniciados en esta área del conocimiento. Sin embargo, nos limitaremos a definiciones que ayuden a comprender la dimensión fraccionaria de algunos fractales.

Cuando consideramos un conjunto de puntos como lo son una curva, un cuadrado o la superficie de una esfera, claramente podemos hablar de dimensiones 1 ó 2, siendo la dimensión de estos conjuntos igual al mínimo número de coordenadas necesarias para describir cada punto dentro del conjunto. En algunas áreas se suele hablar de este número como el grado de libertad de direcciones linealmente independientes. Utilizaremos la primera definición, aplicada a una curva en el plano, esta podría ser una línea recta o una circunferencia. Todos los puntos de estos conjuntos están claramente definidos por un solo número, el cual puede ser la distancia medida sobre la curva a partir de un punto tomado como referencia. En el caso general esta distancia se denomina longitud de arco. Por lo tanto la dimensión es uno.

En particular, utilicemos el fractal conocido como la curva de von Koch. Este fractal se obtiene realizando varias iteraciones del siguiente proceso: se parte de un segmento de línea, al cual se borra la tercera parte del medio y se reemplaza por dos lados de un triángulo equilátero, siendo la nueva longitud de arco 4/3 más grande que el segmento original. Realizando este proceso en infinitas iteraciones, obtenemos el fractal de von Koch. En primera instancia uno se vería tentado a decir que su dimensión es uno, basados en la definición previa. Resulta que no es posible encontrar un número para poder representar todos los puntos de esta curva, puesto que la longitud de arco total es infinita ya que ésta va creciendo en una proporción de 4/3 en cada iteración. Más aun, la distancia entre dos puntos cualesquiera de esta curva, también, tiene una longitud de arco infinita.

Por lo tanto es necesario redefinir el concepto de dimensión. Cuando se trata de fractales autosimilares, es decir, aquellos que presentan una misma estructura a diferentes escalas, se suele recurrir a la llamada dimensión de similitud. Para comprender su origen, se parte de figuras geométricas conocidas que presenten autosimilitud.

Consideremos un segmento de línea recta. Si se divide éste en 2 segmentos autosimilares del mismo tamaño, es posible magnificar el tamaño de cada uno de los segmentos por un factor 2, para obtener el segmento original. En general podemos dividir el segmento en r partes autosimilares, cada una de las cuales con un factor de magnificación igual a r. La situación resulta algo diferente si consideramos ahora un cuadrado. Es posible dividir un cuadrado en 4 cuadrados autosimilares, siendo el factor de escala igual a 2 ó, alternativamente, es posible dividir el cuadrado en 9 partes correspondiendo un factor de magnificación 3 y generalizando el proceso, un cuadrado puede ser dividido en r^2 partes autosimilares, cada una de las cuales debe ser magnificada por un factor de escala r para obtener el cuadrado original.

Resulta que las potencias que aparecen en estos ejemplos no son casuales sino, por el contrario, nos hablan de la dimensión de cada una de las figuras geométricas. Por lo tanto, es posible definir la dimensión de autosimilitud como: si un conjunto autosimilar está compuesto por c copias de si mismo magnificados por un factor r, entonces la dimensión d es el exponente definido por c=r^d o de manera equivalente d=\frac{log(c)}{log(r)}. Aplicando esta definición a la curva de von Koch, es sencillo observar que está constituida por cuatro piezas iguales cada una con un factor de escala igual a 3. Así se obtiene una dimensión fractal d=\frac{log(4)}{log(3)}=1.261859, la cual refleja las propiedades de escala de la curva y cómo el fractal parece llenar el espacio cuando uno lo ve a diferentes escalas. Esta definición puede ser extendida a objetos no autosimilares, a través de la dimensión de Hausdorff-Besicovitch.

25/05/2011 Posted by | Matemática | , | Leave a comment

Avatar 9 – “Literatura fractal”

Los fractales han mostrado estar presentes en la naturaleza como en las montañas, las líneas costeras, las plantas, en las redes de irrigación sanguínea y respiratoria, etc. Las aplicaciones del estudio de los fractales, y con mayor generalidad de la dinámica no lineal, han contribuido al desarrollo de tantos como variados campos del saber humano. Al parecer tal éxito ha incitado a algunos escritores a utilizar los grandiosos dones fractales para publicitar sus escritos.

Navegando por la red me encontré con algo muy curioso: una tendencia literaria denominada “literatura fractal”; al parecer esta tendencia tiene sus orígenes en el medio cibernético, aunque, según sus definiciones, también se puede denominar literatura fractal a los trabajos de Kafka y prácticamente nombran padre de esta literatura al célebre Borges.

Los escritores declarados generadores de este tipo de tendencia afirman que “literatura fractal [es] todo aquel escrito que manifiesta propiedades similares a las de los objetos fractales, centrándose sobre todo en los elementos recursivos, es decir, que hacen referencia a sí mismos”. Igualmente aseveran “la literatura fractal sería aquélla que multiplica los signos lingüísticos, dentro de un orden sintáctico, como si se tratase de un juego de espejos que busca en esa repetición, en ese juego, una dinámica dentro de lo infinito, de lo laberíntico o lo circular; o, dicho de una manera más sencilla, la literatura fractal es aquélla donde se multiplican por sí mismos los elementos que la componen.”

Bueno, pero vayamos a los hechos, he aquí algunos ejemplos de esta literatura:

“Ella sabía que yo lo sabía. Yo sabía que ella sabía que yo lo sabía. Ella sabía que yo sabía que ella sabía que yo lo sabía. Yo sabía que ella sabía que yo sabía que ella sabía que yo lo sabía…”

“Un sueño lo condujo al despertar de otro sueño y ese otro sueño se abrió paso hacia otro nuevo. Así, con esta dinámica, los sueños se iban entretejiendo formando un sistema de sueños conectados en un mismo sueño; sueños que crecían dentro de sí hacia un punto sin término… En dicho estado se hallaba siendo consciente de todo, sabiendo que no podía hacer nada en contra de ello, pues no era capaz de despertar o salir de ese gran sueño, que lo condujo hacia un laberinto imposible de escapar conocido como muerte.”

Esta tendencia literaria al parecer tiene sus virtudes y sus defectos, según sea la mano del escritor. No pudiendo afirmar que ésta sea buena o mala porque hace referencia a los fractales, de hecho, creo que el uso de este nombre para este tipo de literatura en la mayor parte de los ejemplos que pude leer, es simplemente arbitraria, ya que utiliza principalmente el concepto de recursividad en la construcción de sus obras, lo cual si bien forma parte de las nociones de fractales, no se acerca a toda la complejidad y definición estricta de un fractal matemático. Me atrevería a decir que es un ejemplo más del abuso del lenguaje, cuando se trata de términos de la jerga científica.

Dentro de mis navegaciones ciberespaciales, encontré también el trabajo de Roger Olivella, quien escribió un código de computadora llamado Insula smaragdina, el cual tomando una frase en latín la repite infinitamente, pudiendo leerse la frase a cualquier escala. La frase está escrita siguiendo la forma de la curva de Koch. Seguramente es una aplicación literaria mucho más cercana a la realidad fractal que la “literatura fractal”, aunque el valor literario de este programa no tiene comparación con los buenos esfuerzos de los seguidores de la mentada literatura.

Tal vez parezca que soy un detractor de la “literatura fractal”, pero no es cierto, simplemente no comparto el nombre con el que han bautizado a una tendencia literaria que incluso mucho antes ya se la denominaba literatura fantástica. En fin, cualquier otro nombre vendría mejor que el uso de la palabra fractal.

25/05/2011 Posted by | Literatura | , | Leave a comment

Avatar 9 – El conjunto de Mandelbrot

El pasado 14 de octubre falleció Benoit Mandelbrot, matemático nacido de una familia judía en Polonia, educado y nacionalizado francés, pero cuya mayor parte de su vida la pasó trabajando en Estados Unidos. Fue el hombre que forjó la palabra fractal y, por tanto, es considerado padre de tal geometría.

Matemático alejado de las corrientes ortodoxas y puristas de la matemática, su visión particular de la naturaleza le permitió estudiarla con un enfoque geométrico y visual: “Las nubes no son esferas, las montañas no son conos, las costas no son círculos, y la corteza de un árbol no es lisa, ni los relámpagos viajan en línea recta.”  Estudiando disciplinas tan alejadas una de otra como la economía y la medicina, y partiendo de principios matemáticos y físicos, logró unificar conceptos, que hasta entonces habían sido sólo curiosidades aisladas, para dar pie a una nueva matemática en la que los modelos continuos, suaves y bien comportados darían paso a modelos de una naturaleza compleja, más real y más rica en todos los campos de la ciencia.

Trabajando en los conjuntos de Julia , analizó uno en particular que recibió el nombre de conjunto de Mandelbrot. Para definir los primeros utilizamos la iteración en el plano complejo

z_{n+1}=z_n^2+c

donde c es una constante compleja y los sucesivos z_n se obtienen al iterar la función f(z)=z^2+c  a partir de un z_0 inicial. Para un valor de c fijo, la sucesión de z_n iterados puede divergir o, por el contrario, puede que forme una sucesión acotada. Esto depende del valor z=z_0 inicial del que se haya partido. Los conjuntos de Julia J_c resultan ser o bien conexos o totalmente disconexos. El conjunto de Mandelbrot M se define, entonces, como el conjunto de constantes c del plano complejo que dan lugar a un Julia conexo, esto es,

M={c \in C | J_c \quad \textrm{es conexo}}

Para calcular este conjunto se utiliza una propiedad que caracteriza el mismo y que le da por tanto otra definición equivalente. Si empezamos a iterar la función f(z)=z^2+c para distintos valores de c, siempre a partir del valor inicial z_0=0, esto es consideramos la familia de iterados de 0,

f_c^n(0) \quad \textrm{para} \quad n=1, 2, 3, ...

entonces, el conjunto de Mandelbrot M son justamente los valores de c que hacen que esta sucesión sea acotada. Así, las constantes complejas c que cumplen esta condición tienen la siguiente apariencia:

Pero no hay mejor maestro que la misma experiencia y me pregunté si hay manera de graficar un conjunto de Mandelbrot de manera que cualquiera lo pueda hacer sin necesidad de programar o hacer uso de un paquete matemático elaborado. En esta página web uno puede aprender y realizar un conjunto de Mandelbrot en Excel. Los animo a hacerlo. Es una puerta a un mundo complejo, rico, real y más físico que el que, a veces, idealizamos con la matemática tradicional.

25/05/2011 Posted by | Matemática | , , | Leave a comment

Avatar 9 – Meditaciones autosimilares

¿Puede existir un relato fractal? ¿Puede haber literatura no lineal? ¿O cuál es la dimensión de una historia? ¿Acaso puede ser racional? ¿Acaso puede ser fraccionaria? Estas preguntas vinieron a mi mente mientras reflexionaba sobre el conjunto de Mandelbrot que se encierra a sí mismo a diferentes escalas. Como los sueños que pueden darse unos dentro de otros sin aparente límite.

Recuerdo el relato de Pedro Páramo de Juan Rulfo, relato que no es lineal. Es la historia de Pedro Páramo, pero también es la historia de su hijo Juan Preciado; es la historia de la Comala de hoy, pero, también, la del pasado. Es una yuxtaposición y un solapamiento de espacios y tiempos sin orden aparente pero de concreción evidente como un todo.

El Jardín de Senderos que se Bifurcan y El Aleph son dos cuentos magníficos de J. L. Borges que, también, ilustran vívidamente la fractalidad de la realidad. En el primero cada giro de una historia es un giro de la historia (si existiese una sola) del mundo. Cada giro es una bifurcación del jardín que es el universo que, más bien, es un multiverso. En el segundo la totalidad es parte de la parte y ésta, a su vez, es parte de la totalidad, a la manera de las categorías transinfinitas de Cantor: “… vi el Aleph, desde todos los puntos, vi en el Aleph la tierra, vi mi cara y mis vísceras, vi tu cara, y sentí vértigo y lloré, porque mis ojos habían visto ese objeto secreto y conjetural, cuyo nombre usurpan los hombres, pero que ningún hombre ha mirado: el inconcebible universo.”

from "Charts for prediction and chance", Imperial College Press, London 2007

Hace dos años atrás, estudiando algunas estructuras que Marcelo Ramírez, de la carrera de Física de La Paz, había encontrado y que tenían carácter fractal (un ejemplo aproximado de las cuales vemos en la figura), dimos, al mismo tiempo, con un artículo titulado Lyapunov exponents of the logistic map with periodic forcing escrito por Mario Markus, un físico que trabaja en el Instituto Max Planck de Alemania en el área de dinámica no lineal. Hace dos semanas atrás, un amigo filósofo de vuelta de Chile, con algunos textos recién adquiridos, me dice “pongo a consideración tuya estos poemas”. El autor, para sorpresa mía, era, también, Mario Markus. Extraigo de su libro Punzadas, el siguiente poema:

La hilandera

De la soledad suelen surgir hebras negras
que en los callejones, al seguirlas,
con la noche se enredan.

Dicen que es mejor no jugar con ellas,
pues en una punta llevan veneno
y en la otra
el rabo ciego de la culebra.

Dicen también que hay una hilandera
tejedora de hebras blancas, de seda,
que no vive en el callejón
donde viven las rameras.

He salido a buscar a la hilandera
pero por más que busco y busco
sólo encuentro hebras negras.

Y, entonces, me pregunto si acaso existe la casualidad (o la causalidad velada que, a veces, es fractalidad).

25/05/2011 Posted by | Literatura | , | Leave a comment